翻訳家として成功するには、どれぐらいの英語力が必要でしょうか？必要なTOEIC®スコアなど知りたいです。

確かに高い英語力は必要ですが、それは翻訳の学習や仕事を通じて徐々に身につけることができます。多くの英文にふれ、それをとことんまで読み解くことによって、自ずと英語力は向上します。TOEIC®の高スコアを取っておきたいなら別ですが、あまり気にしなくてもいいと思います。
（ただし、翻訳会社やクライアントの書類選考の際に、TOEIC®のスコアを参照する場合があることを付け加えます）